Ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán tổ hợp hình học trong đề olympic

Ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán tổ hợp hình học trong các đề olympic toán imo, giải toán sơ cấp bằng nguyên lí đi rích lê

Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp trong đề olympic toán. Tài liệu được biên soạn bởi tác giả Trịnh Việt Phương.

Gồm 24 bài toán tổ hợp có lời giải chi tiết, phù hợp với học sinh giỏi môn toán từ thcs đến thpt và sinh viên ngành toán.

Một số bài toán đầu tiên của tài liệu

Ví dụ 2.1 Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là ba đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một màu.

Ví dụ 2.2 Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh. Tất cả các cạnh bên và 27 đường chéo của đa giác đáy được bôi bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các cạnh được bôi cùng màu.

Ví dụ 2.3 Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính 1/7.

Ví dụ 2.4 Trên mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng trong ba điểm bất kì trong số đó luôn luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.

Các bài toán tiếp theo xem đề bài và lời giải trong các ảnh dưới đây.

Ví dụ 2.7 Cho hình đa giác đều chín cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong hai màu trắng hoặc đen. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà các đỉnh của mỗi tam giác được tô cùng màu.

Ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán hình học tổ hợp

Ví dụ 2.12 Trong hình vuông có diện tích bằng 6 đặt ba đa giác có diện tích bằng 3. Chứng minh rằng luôn tìm được hai đa giác mà mà diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 1.

Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải toán tổ hợp hình học

Ví dụ 2.16 Bên trong đường tròn bán kính n đặt 4n đoạn thẳng có độ dài 1. Chứng minh rằng có thể kẻ một đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng l cho trước và cắt ít nhất 2 đoạn thẳng đã cho.