Đếm số hình vuông trong lưới kẻ ô dạng cơ bản và nâng cao

Giải bài toán đếm số hình vuông trong lưới kẻ ô dạng cơ bản và nâng cao (dễ và khó)

Bài toán đếm số hình vuông trong lưới kẻ ô thường xuất hiện trong các câu toán đố ở các cuộc thi như đường lên đỉnh Olympia, olympic toán học cho học sinh trung học, ... Có thể dùng các quy tắc đếm cơ bản để giải bài toán này.

Bài toán 1: Đếm số hình vuông trong lưới kẻ ô cơ bản

Đề bài toán

Cho một hình vuông gồm 9 x 9 = 81 ô kẻ vuông do 10 đường ngang và dọc (gọi chung là đường lưới) tạo thành. Có bao nhiêu hình vuông tạo bởi các đường lưới ấy?

Lời giải:

Có 9 loại hình vuông được tạo nên bởi các đường lưới.
- Số hình vuông kích thước 1x1 là: 9x9=81.
- Số hình vuông kích thước 2x2 là: 8x8=64.
- Số hình vuông kích thước 3x3 là: 7x7=49.
...
- Số hình vuông kích thước 8x8 là: 2x2=4.
- Số hình vuông kích thước 9x9 là: 1x1=1.
Vậy có tất cả 9x9+8x8+7x7+...+2x2+1x1=285 hình vuông.

Bài toán 2: Đếm số hình vuông trong lưới kẻ ô nâng cao

Đề bài toán

Cho một hình vuông gồm 9 x 9 = 81 ô kẻ vuông tạo thành, trong đó có 9 ô kẻ vuông bị đục bỏ (phần màu xám). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình vuông tạo bởi các đường lưới trong hình?

Lời giải:

Nếu không có phần bị đục bỏ thì theo bài toán 1 ta có tất cả 285 hình vuông tạo nên bởi các đường lưới.
Bây giờ ta đếm số hình vuông có một phần cạnh bị bỏ đi (tức một phần cạnh nằm trong phần màu xám), gọi chung là "hình vuông xấu".
- Có 3 x 3 = 9 hình vuông 1 x 1 xấu.
- Có 4 x 4 = 16 hình vuông 2 x 2 xấu.
- Số hình vuông 3 x 3 xấu là: 5 x 5 - 1 x 1 = 24. (các đỉnh trên cùng bên phải của chúng được đánh dấu trong hình dưới bởi các chấm nhỏ màu đen trong hình 3).
- Số hình vuông 4 x 4 xấu là: 5 x 6 - 2 x 2 = 26. (các đỉnh trên cùng bên phải của chúng được đánh dấu trong hình dưới bởi các chấm tròn to trong hình 3).

Hình 3

- Số hình vuông 5 x 5 xấu là 5 x 5 - 3 x 3 = 16. (các đỉnh trên cùng bên phải của chúng được đánh dấu trong hình dưới bằng các chấm nhỏ màu đen trong hình 4).
- Có đúng 4 hình vuông 6 x 6 xấu. (các đỉnh trên cùng bên phải của chúng được đánh dấu trong hình dưới bởi các chấm tròn to trong hình 4).

Hình 4

- Các loại hình vuông 7x7, 8x8, 9x9 thì không có phần cạnh nào nằm ở phần màu xám.
Vì vậy số hình vuông thoả mãn yêu cầu bài toán là: 285 - (9 + 16 + 24 + 26 + 16 + 4) = 190.