Lịch sử số nguyên tố Mersenne

Ngày xửa ngày xưa, nhiều người từng nghĩ $2^n-1$ luôn là số nguyên tố cho mọi $n$ nguyên tố nhưng vào năm 1563 Hudalricus Regius đã chỉ ra r...

Ngày xửa ngày xưa, nhiều người từng nghĩ $2^n-1$ luôn là số nguyên tố cho mọi $n$ nguyên tố nhưng vào năm 1563 Hudalricus Regius đã chỉ ra rằng $2^{11}-1=2047=23\times 89$ không phải là số nguyên tố.

Vào năm 1603 Pietro Cataldi đã kiểm chứng một cách chính xác rằng khi $n=17, 19$ thì $2^n-1$ là số nguyên tố và dự đoán điều đó cũng đúng khi $n=23, 29, 31, 37$. Tuy nhiên vào năm 1640 Fermat đã chỉ ra suy đoán của Cataldi sai với trường hợp 23 và 37 và năm 1738 Euler cũng chỉ ra trường hợp $n=29$ cũng sai. 

Năm 1644 một giáo sĩ người Pháp là Marin Mersenne (1588-1648) trong lời tựa của cuốn "Cogitata Physica-Mathematica" (1644) (Tạm dịch là "những khái niệm Toán học và Vật lí") đã sắp xếp ra 11 giá trị của n để $2^n-1$ là số nguyên tố, đó là các giá trị :2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 và 257. Không khó khăn gì có thể tra ra 11 giá trị trên đều là số nguyên tố. Không lâu sau có người còn chứng minh được nếu $2^n-1$ là số nguyên tố thì $n$ nhất định là số nguyên tố, nhưng cần chú ý là điều ngược lại không đúng : nghĩa là khi $n$ là số nguyên tố thì $2^n-1$ không nhất định là số nguyên tố. Thí dụ như các trường hợp đã nói ở trên.

Từ đó để tưởng niệm công lao của ông giáo sĩ , người ta gọi tất cả các số nguyên tố có dạng $M_p=2^p-1$ là số nguyên tố Merssenne. Tuy Mersene đưa ra 11 giá trị $n$ để $2^n-1$ là số nguyên tố nhưng ông không không chứng minh được tất cả 11 giá trị của n ,nguyên nhân chủ yếu là con số lớn khó phân giải khi n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 thì $2^n-1$ tương ứng là : 3, 7, 31, 127, 8191, 13107, 524287. Bởi vì những con số này đều tương đối nhỏ nên ta đã chứng minh được ra chúng đều là số nguyên tố. 

Năm 1772 nhà toán học Euler ở tuổi 65, đôi mắt đã hoàn toàn mất thị lực với thiên tài tính nhẩm siêu việt đã chứng minh được khi n có giá trị là 31 thì số $2^{31}-1=2147483647$ là một số nguyên tố. Còn các giá trị $n=67, 127, 257$ thì 3 số $2^n-1$ tương ứng có phải là số nguyên tố không thì sau một thời gian dài không ai chứng minh tiếp. 

Sau khi Mersene qua đời được 250 năm, 1903 trong một cuộc hội thảo toán học tại New York có một nhà toán học đã làm một bản báo cáo rất xuất sắc và độc đáo: ông bước lên diễn đàn và chẳng nói một lời, lẳng lặng cầm viên phấn viết thật nhanh lên bảng đen các con số sau đây : .... sau đó ông đi về chỗ ngồi của mình. Lúc đầu cả hội trường im phăng phắc ,một lúc sau tiếng vỗ tay vang dội một hồi lâu không dứt. 

Năm 1914 số thứ 10 được chứng minh là số nguyên tố. Năm 1952 người ta dùng máy tính điện tử chứng minh được số thứ 11 không phải là số nguyên tố. Tốc độ tính toán của máy tính điện tử càng lúc càng chóng mặt. Ngày 4 tháng 9 năm 1996 máy tính cỡ lớn của Mỹ giúp các nhà khoa học Mỹ tìm ra số nguyên tố thứ 33 là (gồm 378632 chữ số thập phân). Ngày 28 tháng 5 năm 2004, John Findley đã tìm ra số nguyên tố Merssenne thứ 41. Nó gồm 7235733 chữ số thập phân (một người bình thường phải mất 6 tuần mới viết hết được). Đó là số đồng thời phát hiện số hoàn hảo lớn nhất . Máy tính tại Khoa Toán ĐH Los Angeles (UCLA) đã tìm ra số nguyên tố Mersenne thứ 45, số nguyên tố Mersenne thứ 46 với hơn 13 triệu chữ số cũng mới tìm ra mới đây bởi máy tính ở Cologne, Germany. Cả hai phát hiện này là một phần của chương trình GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search. 

Trước đó số nguyên tố lớn nhất được biết cũng được UCLA tìm ra với 10 triệu chữ số và họ được nhận giải thưởng 50.000 USD từ quỹ EFF - Electronic Frontier Foundation Edson Smith của nhóm Mathematics Computing Group, UCLA là người cài đặt và điều hành phần mềm tìm kiếm số nguyên tố này. Giám đốc quỹ GIMPS George Woltman phát biểu rằng sẽ được tặng thưởng 150.000 USD cho ai khám phá ra đầu tiên số nguyên tố có 100 triệu chữ số. 

Xem thêm về số nguyên tố Mersene tại đây.