Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác...
Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác với nhà nghiên cứu Mỹ David Bailey và đã tìm ra một công thức có thể tính bất kỳ chữ số nào của pi mà không cần biết tới những chữ số nằm phía trước. Jean Paul Delahaye nhấn mạnh: “Kết quả này đã làm mọi người ngạc nhiên. Cách đây vài chục năm, những nhà toán học sẽ cười ngạo mạn, nếu bạn hỏi họ có một công thức nào như vậy không!” nhưng khuyết điểm của công thức này là nó chỉ đúng với cách viết nhị phân, chứ không đúng theo cách viết thập phân của pi (3,14159…) viết số theo lối nhị phân là cách viết trong tin học, chỉ dùng số 0 và số 1. Theo cách viết nhị phân, thì pi sẽ được viết thành: 11,0010010000111… thí dụ, công thức Bailey-Borwein-Plouffe cho phép ta tính ra chữ số lẻ thứ năm tỷ, viết theo lối nhị phân: đó là số 0. Nhưng công thức này không cho phép ta tìm ra chữ số lẻ nếu viết theo cách thập phân.
Thuy vậy, công thức này đã giúp ta hiểu rõ hơn về tánh chuẩn của pi. Nhờ “công thức thần diệu” đó, David Bailey đã nhận xét rằng, nếu viết theo lối nhị phân, thì từ bất kỳ chữ số nào, ta cũng có thể tìm ra chữ số tiếp theo. Sự nối tiếp của 0 và 1 trong cách viết nhị phân của hằng số pi chỉ là kết quả của một phép tính mà ta sẽ lặp đi lặp lại.
Mặt khác, phương thức này lại rất giống cách tính angorit trong tin học: dùng angorit để tạo ra một chuỗi số ngẫu nhiên (thí dụ như trong cách giải mật mã). Cũng có nghĩa là áp dụng công thức vào một con số nào đó, rồi lặp đi lặp lại phép tính trên các số thành vừa có, thì ta được một chuõi số thoạt nhìn có vẻ như không theo một thứ tự nào cả và hình như rất ngẫu nhiên. Một agorit như thế được gọi là “hỗn độn”: chỉ cần con số đầu tiên khácđi một chút hay công thức cũng khi một chút hayc ông thức cũngkhác đi một chút thì chuỗi số sẽ hoàn toàn khác hẳn. Như thế, các số lẻ của pi có tính cách hỗn độn.
David Bailey nói thêm: “Liền sau khi vừa khám phá ra công thức này, tôi có cảm tưởng như đã tìm ra sợi dây nối giữa số lẻ của pi và động lực hỗn hợp”. Như thế, nhà toán học linh cảm đã gặp được một thông tin quan trọng hàng đầu. Tánh hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự của các số lẻ? Ít ra là có thể chứng minh được tánh chuẩn của nó, điều đó có nghĩa là mỗi chữ số được xuất hiện đồng đều như nhau, giống như trong dãy số vô trật tự?
David Bailey nhìn nhận: “Hồi đó, tôi chưa đủ khả năng tìm hiểu sâu vào cái trực giác này. Sự kết nối giữa tánh chuẩn và tánh hỗn hợp đã chỉ thực hiện được gần đây bởi Richard Crandall”. Và 2 nhà nghiên cứu đã công bố kết quả vào tháng 6.2001 trong tạp chí Experimental Mathematics.
Tính hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự đó không?
Trọng tâm của việc này là thiết lập một giả định (conjecture) mới. Giả định là một giả thuyết được coi như đúng nhưng chưa được chứng minh. Với giả định Crandall-Bailey, ta có thể viết các số theo lối nhị phân bằng cách áp dụng công thức từng bước một. Đó cũng là trường hợp của pi, như David Bailey đã nhận xét.
Theo giả định của hai nhà nghiên cứu, hoặc là dãy số 0 và số 1 của các hằng số hỗn độn được xem như là một dãy tuần hoàn, mà chu kỳ sẽ lặp đi lặp lại cho đến vô tận, hoặc là những con số 0 và những con số 1 được phân phối một cách đồng nhất. Trong trường hợp thứ nhất, hằng số đó là một số chuẩn. Mặt khác, người ta cũng biết rằng pi không phải là một số hữu tỷ… do đó, pi là một hằng số chuẩn. Đó là điều phải chứng minh.
Nếu ta có thể chứng minh giả định này thì ta đã chứng minh được rằng pi là một số chuẩn. David Bailey tự hào: “Chúng tôi đã chuyển dịch một bài toán không giải đáp được của số học thành một bài toán về cơ động học hỗn độn, dễ giải đáp hơn”. Dễ giải đáp hơn? Chưa chắc như vậy đâu. “Tôi không biết bằng cách nào người ta có thể chứng minh giả định này”, Jeffrey Lagarias, một chuyên viên người Mỹ về động cơ học ngẫu nhiên, đã phải thú thật như thế sau khi đã nghiên cứu khám phá của D. Bailey.
Giới toán học đã tuần tự nghiên cứu giả định này trong vòng hơn một năm nay, nhưng chưa thấy ai đề nghị một hướng ra nào. Công bố của D. Bailey vẫn y nguyên, như thế cũng có nghĩa là thừa nhận sự thất bại. “Nếu việc làm của Bailey và Crandall đã biến đổi cách nhìn về vấn đề, nhưng nó vẫn chưa thay đổi toàn diện vấn đề. Tánh chuẩn của pi đã là một câu hỏi không giải đáp, thì bây giờ nó vẫn làmột câu hỏi không giải đáp”. Nhưng còn tệ hơn thế nữa: giả như một ngày nào đó, người ta chứng minh được giả định Bailey-Crandall thì đó vẫn chưa đủ để khẳng định rằng pi là một số chuẩn đâu. Lý do là không phải tại vì pi là số chuẩn trong cách viết nhị phân rồi sẽ là số chuẩn trong cách viết thập phân. Những con số 0 và số 1 có thể được phấn phối rất đồng thời trong cách viết nhị phân, nhưng trong cách viết thập phân (viết bằng số 0,1,2,…,9) thì vẫn chưa chắc. Muốn khùng luôn…
Những tiêu chuẩn còn khiếm khuyết
Lại còn tệ hơn thế nữa: tánh chuẩn chưa phải là tiêu chuẩn đủ để định nghĩa tánh ngẫu nhiên của một dãy số. Thử xem lại số Champemowne (0,123456789101112…). Đó là một số chuẩn vì các số lẻ được phân phối một cách đồng nhất, nhưng mà dãy số lẻ đó cũng hoàn toàn trật tự… các nhà tin học đã tìm kiếm những tiêu chuẩn khác để ước lượng tánh ngẫu nhiên tạo thành bởi những dãy số. Các dãy số con tự nhiên mà ta đã rút được (bằng cách lấy ra một con số trên mười chẳng hạn) phải là một dãy số chuẩn. Hay là tốc độ để các tần số xích lại gần nhau phải theo một công thức rõ rệt… “Người ta có thể tìm ra bao nhiêu tiêu chuẩn cũng được, nhưng những tiêu chuẩn này không bao giờ đủ định nghĩa một cách chính xác tánh ngẫu nhiên của một dãy số”. Thống kê học không thể nào cho ta một định nghĩa chính xác về ngẫu nhiên. Dù pi có thể nghiệm đúng tất cả các tiêu chuẩn thống kê, nhưng cũng đừng mong như vậy là ta đã chứng minh được tánh ngẫu nhiên của nó.
Trong suốt thế kỷ thứ 20, các nhà toán học đã hiểu rằng chỉ có một cách định nghĩa được tánh ngẫu nhiên là phải dùng lý thuyết thông tin (théorie de l’information): một dãy số là ngẫu nhiên nếu ta không thể tóm lược chúng, không thể nén chúng lại, không thể tổng hợp chúng bằng một công thức ngắn. Nhưng mà pi lại có thể tóm tắt bằng nhiều phương trình. Chẳng hạn như ta chỉ cần cộng các số 4/1- 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +… và cứ tiếp tục như thế, rồi từ từ ta có thẻ tìm thấy tất cả các số lẻ nổi tiếng của pi: pi không phải là một số ngẫu nhiên!
Như vậy thì pi theo một trật tự huyền bí nào? Những nhà toán học thừa biết rằng họ đang phải đối đầu với với một dãy số rất đặc biệt, nhưng họ không biết là đặc biệt như thế nào. Cái trật tự duy nhất của các số lẻ của pi mà họ đã kiểm tra ra được là cái trật tự của … các số lẻ của pi! Có đáng tức không?
Đã đăng: PHẦN 1 - PHẦN 2
