Một khám phá mới đây đã cho biết rằng lý thuyết hỗn độn có thể mang lại một chút trật tự cho chuỗi số lẻ đầy bí hiểm của số pi. Nhưng cái ch...
Một khám phá mới đây đã cho biết rằng lý thuyết hỗn độn có thể mang lại một chút trật tự cho chuỗi số lẻ đầy bí hiểm của số pi. Nhưng cái chuỗi số rắc rối này vẫn không ngừng ám ảnh các nhà toán học…Muốn chọc tức một nhà toán học thì có một cách rất dễ: cứ bảo anh ta vẽ một vòng tròn, đo chu vi vòng tròn đó, đem chu vi đó chia cho đường kính rồi ghi lấy số thành. Mới đầu anh ta đưa ra một giải đáp phỏng chừng là: 3,14. Và nếu tính kỹ hơn, anh ta sẽ đưa ra một con số càng lúc càng nhiều số lẻ: 3,14159265… rồi anh ta lại có thể viết ra tới 200 tỷ số lẻ nếu anh ta lấy từ những tài liệu mà người ta vừa mới tính ra hai năm nay.
Cứ hỏi cảm nghĩ của anh ta về những số lẻ nhiều như thác lũ này. Có một thứ tự nào không? Các chữ số xuất hiện ra có theo một quy luật nào không? Hay là sự xuất hiện đó chẳng thưo một trật tự nào cả, xem như là các chữ số vì ngẫu nhiênmà có? Câu hỏi có vẻ hời hợt như thế nhưng nhà toán học sẽ lúng túng khi trả lời. Mà đúng như thế, anh ta không biết gì cả để trả lời cho ra lẽ, thế mới tức…
Thì đồng ý rằng chuyện đó trong thực tiễn chẳng có gì quan trọng cả. Một bài tính vật lý chỉ cần tới vài ba chục con số lẻ là cùng. Đó là một thách thức mà các nhà toán học phải đảm nhận: có hay không một trật tự trong các số lẻ của pi, một hằng số căn bản nhất? Một thách đố mà một khi chưa có giải đáp sẽ luôn ám ảnh đầu óc các nhà toán học. Vì đó cũng gần như là một việc bảo vệ danh sự.
Chỉ có một điều biết chắc chắn đã 300 năm nay: pi là một số vô tỷ, ta không thể viết nó dưới dạng phân số của 2 số nguyên. Các số hữu tỷ như ¾ (số thập phân là 0,75) hay 1/11 (0,09090909…) mà số lẻ làmột số hữu hạn hay là là một số có chu kỳ. Trong khi đó, các số lẻ của pi thì vô hạn và không thấy có một chu kỳ nào cả.
Nhưng các nhà toán học vẫn chưa thỏa mãn với nhận xét trên: vô tỷ nhưng chưa hẳn là vô trật tự. Thử lấy con số Champemowne mà khi viết các số lẻ thì cũng như ta tuần tự đếm các số nguyên: 0,12345678910111213… các con số nối đuôi nhau kéo dài tới vô tận, không lạp lại, nhưng theo một thứ tự rõ rệt. Và như thế, câu hỏi về những số lẻ của pi vẫn chưa có giải đáp. Có khác biệt nào giữa các số lẻ của số pi và một dãy số lấy ra một cách ngẫu nhiên?
Pi có phải là một số chuẩn không?
Đặc điểm chính của dãy số ngẫu nhiên đã được Emile Borel, một người Pháp, định nghĩa: tách chuẩn (normalité). Một số được gọi là chuẩn, nếu mỗi chữ số của cái chuỗi vô tận của các số lẻ xuất hiện cùng tần số. Điều đó có nghĩa là chữ số 1 là 10%, chữ số hai là 10%, và chữ số 3, chữ số 4 cho tới chữ số 9 cũng như thế. Chưa hết, những số gồm 2 chữ số cũng phải được xuất hiện cùng tần số là 1%. Những số gồm 3 chữ số với cùng tần số là 1/1000… Nói tóm lại, trong một số chuẩn, những đoạn số có cùng chiều dài phải được xuất hiện cùng tần số. Nếu một chữ số xuất hiện nhiều lần hơn các chữ số lẻ khác thì số đó không được gọi là số ngẫu nhiên .
Pi có đủ các tiêu chuẩn thống kê này không? Thoạt nhìn thì có. Năm ngoái, nhà thống kê học người Mỹ Ted Jaditz đã nghiên cứu tần số của các đoạn số cho tới 16 chữ số của pi. Và việc kiểm nghiệm thống kê này đã chứng minh rằng không có sự sai biệt đáng kể nào khi đem so sánh với một số ngẫu nhiên. Lúc đầu, ông ta thấy chữ số 7 xuất hiện ít, chỉ có 7,2% trong 500 số lẻ đầu tiên. Nhưng sau đó, cái khác thường này đã vội biến mất: chữ số 7 đã xuất hiện 9,99998% lần trong 200 tỷ số tiếp theo. Như vậy thoạt nhìn thì pi là một số chuẩn.
Nhưng khám phá này vẫn chưa làm vừa lòng các nhà toán học. Có gì để chứng minh rằng chữ số 7 lại không xuất hiện với một tần số nhỏ hơn kể từ số lẻ ngàn tỷ? Hay ngược lại, kể từ số lẻ ngàn tỷ, chữ số 7 lại xuất hiện với tần số cao hơn? Chẳng có một kiểm nghiệm thống kê nào có thể kiểm chứng được tánh chuẩn của vô tận các số lẻ…
Do đó, cái mà các nhà toán học cần là một chứng minh, một chằng chứng toán học của tánh chuẩn của pi. Và chưa thấy ai đã làm được điều đó. “Ngoài cái việc tính tần số ra, người ta vẫn chưa biết nếu tất cả các chữ số đã xuất hiện ít ra là một lần trong các số lẻ của pi”, ông Jean Paul Delahaye, nhà nghiên cứu ở Viện tin học cơ bản thành phố Lille và tác giả cuốn sách Fasciant nombre pi, đã phải bực mình thốt lên như thế.
...(còn tiếp)...
Đã đăng: Phần 1
Cứ hỏi cảm nghĩ của anh ta về những số lẻ nhiều như thác lũ này. Có một thứ tự nào không? Các chữ số xuất hiện ra có theo một quy luật nào không? Hay là sự xuất hiện đó chẳng thưo một trật tự nào cả, xem như là các chữ số vì ngẫu nhiênmà có? Câu hỏi có vẻ hời hợt như thế nhưng nhà toán học sẽ lúng túng khi trả lời. Mà đúng như thế, anh ta không biết gì cả để trả lời cho ra lẽ, thế mới tức…
Thì đồng ý rằng chuyện đó trong thực tiễn chẳng có gì quan trọng cả. Một bài tính vật lý chỉ cần tới vài ba chục con số lẻ là cùng. Đó là một thách thức mà các nhà toán học phải đảm nhận: có hay không một trật tự trong các số lẻ của pi, một hằng số căn bản nhất? Một thách đố mà một khi chưa có giải đáp sẽ luôn ám ảnh đầu óc các nhà toán học. Vì đó cũng gần như là một việc bảo vệ danh sự.
Chỉ có một điều biết chắc chắn đã 300 năm nay: pi là một số vô tỷ, ta không thể viết nó dưới dạng phân số của 2 số nguyên. Các số hữu tỷ như ¾ (số thập phân là 0,75) hay 1/11 (0,09090909…) mà số lẻ làmột số hữu hạn hay là là một số có chu kỳ. Trong khi đó, các số lẻ của pi thì vô hạn và không thấy có một chu kỳ nào cả.
Nhưng các nhà toán học vẫn chưa thỏa mãn với nhận xét trên: vô tỷ nhưng chưa hẳn là vô trật tự. Thử lấy con số Champemowne mà khi viết các số lẻ thì cũng như ta tuần tự đếm các số nguyên: 0,12345678910111213… các con số nối đuôi nhau kéo dài tới vô tận, không lạp lại, nhưng theo một thứ tự rõ rệt. Và như thế, câu hỏi về những số lẻ của pi vẫn chưa có giải đáp. Có khác biệt nào giữa các số lẻ của số pi và một dãy số lấy ra một cách ngẫu nhiên?
Pi có phải là một số chuẩn không?
Đặc điểm chính của dãy số ngẫu nhiên đã được Emile Borel, một người Pháp, định nghĩa: tách chuẩn (normalité). Một số được gọi là chuẩn, nếu mỗi chữ số của cái chuỗi vô tận của các số lẻ xuất hiện cùng tần số. Điều đó có nghĩa là chữ số 1 là 10%, chữ số hai là 10%, và chữ số 3, chữ số 4 cho tới chữ số 9 cũng như thế. Chưa hết, những số gồm 2 chữ số cũng phải được xuất hiện cùng tần số là 1%. Những số gồm 3 chữ số với cùng tần số là 1/1000… Nói tóm lại, trong một số chuẩn, những đoạn số có cùng chiều dài phải được xuất hiện cùng tần số. Nếu một chữ số xuất hiện nhiều lần hơn các chữ số lẻ khác thì số đó không được gọi là số ngẫu nhiên .
Pi có đủ các tiêu chuẩn thống kê này không? Thoạt nhìn thì có. Năm ngoái, nhà thống kê học người Mỹ Ted Jaditz đã nghiên cứu tần số của các đoạn số cho tới 16 chữ số của pi. Và việc kiểm nghiệm thống kê này đã chứng minh rằng không có sự sai biệt đáng kể nào khi đem so sánh với một số ngẫu nhiên. Lúc đầu, ông ta thấy chữ số 7 xuất hiện ít, chỉ có 7,2% trong 500 số lẻ đầu tiên. Nhưng sau đó, cái khác thường này đã vội biến mất: chữ số 7 đã xuất hiện 9,99998% lần trong 200 tỷ số tiếp theo. Như vậy thoạt nhìn thì pi là một số chuẩn.
Nhưng khám phá này vẫn chưa làm vừa lòng các nhà toán học. Có gì để chứng minh rằng chữ số 7 lại không xuất hiện với một tần số nhỏ hơn kể từ số lẻ ngàn tỷ? Hay ngược lại, kể từ số lẻ ngàn tỷ, chữ số 7 lại xuất hiện với tần số cao hơn? Chẳng có một kiểm nghiệm thống kê nào có thể kiểm chứng được tánh chuẩn của vô tận các số lẻ…
Do đó, cái mà các nhà toán học cần là một chứng minh, một chằng chứng toán học của tánh chuẩn của pi. Và chưa thấy ai đã làm được điều đó. “Ngoài cái việc tính tần số ra, người ta vẫn chưa biết nếu tất cả các chữ số đã xuất hiện ít ra là một lần trong các số lẻ của pi”, ông Jean Paul Delahaye, nhà nghiên cứu ở Viện tin học cơ bản thành phố Lille và tác giả cuốn sách Fasciant nombre pi, đã phải bực mình thốt lên như thế.
...(còn tiếp)...
Đã đăng: Phần 1
