Chứng minh vì sao chỉ có 5 loại khối đa diện đều ?

Vì sao chỉ có 5 loại khối đa diện đều, chứng minh định lí chỉ có năm loại khối đa diện đều

Trong bài khối đa diện đều là gì, chúng ta có nhắc đến định lí quan trọng về các loại khối đa diện đều. Nhiều người thắc mắc vì sao lại chỉ có 5 loại khối đa diện đều?

Định lí về các loại khối đa diện đều

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3;3}, {3;4}, {4;3}, {3;5} và {5;3}.

Chứng minh chỉ có 5 loại khối đa diện đều

Cho khối đa diện đều loại {p;q}. Gọi V, E, F lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của nó.

Ta có p là số cạnh của mỗi mặt đa diện, F số mặt của khối đa diện, suy ra pF là tổng số cạnh của tất cả các mặt của khối đa diện. Mà một cạnh của đa diện kề với hai mặt của khối đa diện. Suy ra:

Ta lại có q là số mặt gặp nhau ở một đỉnh, V là tổng số đỉnh của khối đa diện. Suy ra qV là tổng số đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện. Mặt khác, q là số cạnh gặp nhau ở một đỉnh. Mà mỗi cạnh liên kết với hai đỉnh của đa diện. Suy ra:

Vì vậy ta có đẳng thức sau

Mặt khác, đối với mọi khối đa diện lồi ta đều có:

   (Đặc trưng Euler)

Rút F, V ở (1) và thế vào (*) ta được:

Lưu ý rằng p ≥ 3, q ≥ 3 (vì mỗi đa diện có ít nhất 3 cạnh, khối đa diện có ít nhất 3 mặt gặp nhau ở một đỉnh). Bây giờ giả sử p, q cùng lớn hơn 3 (tức p ≥ 4, q ≥ 4) thì sẽ dẫn đến

 .  Điều này là vô lí.

Điều vô lí này cho ta p, q không thể đồng thời lớn hơn 3. Suy ra p = 3 và q ≥ 3 hoặc p ≥ 3 và q = 3. 

Trường hợp p = 3. Thế vào (2) ta được:

Do q là số nguyên nên q chỉ có thể là 3, 4, 5 (E tồn tại tương ứng là 6, 12, 30).

Trường hợp q = 3. Tương tự ta cũng suy ra được p = 3, 4, 5. 

Cả 2 trường hợp, ta chỉ nhận được năm cặp số (3,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3) tương ứng với 5 loại khối đa diện đều là {3;3}, {3;4}, {4;3}, {3;5} và {5;3}.

Định lí được chứng minh.