20 cách chứng minh cho Bất đẳng thức Nesbit - Phần cuối

Đã đăng: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6 Cách 19: (Theo Hojoo Lee) Theo AM-GM ta có các BDT và Suy ra hay Điều này...

Đã đăng: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6
Cách 19: (Theo Hojoo Lee)
Theo AM-GM ta có các BDT

$a^{3/2}+b^{3/2}+b^{3/2}geq 3a^{1/2}b$

và

$a^{3/2}+c^{3/2}+c^{3/2}geq 3a^{1/2}c$

Suy ra

$2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})geq 3a^{1/2}(b+c)$

hay

$dfrac{a}{b+c}geq dfrac{3a^{3/2}}{2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})}$

Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc.
Cách 20:
Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng).

$2(a^2+b^2+c^2)^2ge 3sum_{sym}a^3.b$

Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số

$sum_{cyclic}dfrac{a}{b+c}=$ $gedfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{sum_{sym}a^3.b}ge dfrac{3}{2}$

Thay cho lời kết : Bất đẳng thức Nesbit vẫn còn rất nhiều cách chứng minh khác (không tầm thường chút nào) cũng như các dạng mở rộng của nó. Bạn đọc có thể xem thêm trong các tài liệu sau:

Titu Andrescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequalities, GIL, 2004. Download here.

Hojoo Lee, Topics in Inequalities - Theorems and Techniques, 2007. Download here

Art of Problem Solving Forum: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=132021&sid=a2630c6e984259a3a5503f0cfe1ee826

Phạm Kim Hùng, Sáng tạo Bất đẳng thức, NXB Tri thức, 2006. Download here

Toán Học Việt Nam

Header$type=social_icons

20 cách chứng minh cho Bất đẳng thức Nesbit - Phần cuối

Nhãn:

SÁCH LÝ THUYẾT SỐ /fa-newspaper-o/

/fa-share-alt/ MẠNG XÃ HỘI$type=social_counter

/fa-coffee/ BÀI VIẾT MỚI NHẤT$type=list-tab$date=0$au=0$cm=0$c=39

/fa-quote-left/ QUOTE$quote=Hoàng tử Gauss

/fa-search/ TÌM TÀI LIỆU TOÁN

20 cách chứng minh cho Bất đẳng thức Nesbit - Phần cuối

Nhãn:

SHARE:

SÁCH LÝ THUYẾT SỐ /fa-newspaper-o/

/fa-share-alt/ MẠNG XÃ HỘI$type=social_counter

/fa-coffee/ BÀI VIẾT MỚI NHẤT$type=list-tab$date=0$au=0$cm=0$c=39

/fa-quote-left/ QUOTE$quote=Hoàng tử Gauss

/fa-search/ TÌM TÀI LIỆU TOÁN